Hỏi phương trình \(2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right)\) có bao nhiêu nghiệm trong khoảng \(\left( {0;2017\pi } \right)\).

Điều kiện : \(\left\{ \begin{array}{l}\cot x > 0\\\cos x > 0\end{array} \right.(1)\).

Ta có : $2{\log _3}\left( {\cot x} \right) = {\log _2}\left( {\cos x} \right) \Leftrightarrow {\log _3}{\left( {\cot x} \right)^2} = {\log _2}\left( {\cos x} \right) = t$

$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\cot x} \right)^2} = {3^t}\\{\cos ^2}x = {4^t}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}} = {3^t}\\{\cos ^2}x = {4^t}\end{array} \right.$

\( \Rightarrow \dfrac{{{4^t}}}{{1 - {4^t}}} = {3^t} \Leftrightarrow {4^t} - {3^t} + {12^t} = 0 \Leftrightarrow {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {4^t} = 1\)

Đặt \(f(t) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t} + {\left( 4 \right)^t} \Rightarrow f'(t) = {\left( {\dfrac{4}{3}} \right)^t}\ln \dfrac{4}{3} + {\left( 4 \right)^t}\ln 4 > 0\) suy ra $f(t)= 1$ có tối đa $1$ nghiệm.

Nhận thấy $t=-1$ là nghiệm của phương trình \( \Rightarrow {\log _2}\left( {\cos x} \right) =  - 1 \Rightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow x =  \pm \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  \Rightarrow x = \dfrac{\pi }{3} + k2\pi \)( do đk (1)).

Ta có : \(0 < \dfrac{\pi }{3} + k2\pi  < 2017\pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{{3025}}{3}\). Do $k$ nguyên nên $k= 0, 1, …, 1008$.

Vậy phương trình có $1009$ nghiệm.