Câu hỏi:
2 năm trước
Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\) với \(x > 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\) là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có:
\(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 8x + 2x + 16}}{x}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 16}}{x}\)\( = x + \dfrac{{16}}{x} + 10\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x\) và \(\dfrac{{16}}{x}\) ta có:
\(\begin{array}{l}x + \dfrac{{16}}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{16}}{x}} \Leftrightarrow x + \dfrac{{16}}{x} \ge 8\end{array}\)
\( \Rightarrow x + \dfrac{{16}}{x} + 10 \ge 8 + 10\)\( \Rightarrow x + \dfrac{{16}}{x} + 10 \ge 18\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 18\)
Dấu “\( = \)” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \dfrac{{16}}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x^2 = 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 4\).
\(\min f\left( x \right) = 18 \Leftrightarrow x = 4\)
Vậy \(m = 18\)
Thay \(m = 18\) vào biểu thức \({m^2} + 1\) ta có: \({18^2} + 1 = 325\)
Hướng dẫn giải:
Biến đổi \(f\left( x \right)\) về dạng \(f\left( x \right) = x + \dfrac{{16}}{x} + 10\).
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm \(m = \min f\left( x \right)\). Từ đó, tính được giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\).
Câu hỏi khác
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn toán 10 có lời giải
- Bài tập bất đẳng thức toán 10 có lời giải
- Bài tập dấu của nhị thức bậc nhất toán 10 có lời giải
- Bài tập đại cương về bất phương trình toán 10 có lời giải
