Gọi \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\) với \(x > 0\). Khi đó, giá trị của biểu thức \({m^2} + 1\) là

Ta có:

\(f\left( x \right) = \dfrac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 8} \right)}}{x}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 8x + 2x + 16}}{x}\)\( = \dfrac{{{x^2} + 10x + 16}}{x}\)\( = x + \dfrac{{16}}{x} + 10\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(x\) và \(\dfrac{{16}}{x}\) ta có:

\(\begin{array}{l}x + \dfrac{{16}}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{{16}}{x}} \Leftrightarrow x + \dfrac{{16}}{x} \ge 8\end{array}\)

\( \Rightarrow x + \dfrac{{16}}{x} + 10 \ge 8 + 10\)\( \Rightarrow x + \dfrac{{16}}{x} + 10 \ge 18\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) \ge 18\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x = \dfrac{{16}}{x}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 0\\x^2 = 16\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = 4\).

\(\min f\left( x \right) = 18 \Leftrightarrow x = 4\)

Vậy \(m = 18\)

Thay \(m = 18\)  vào biểu thức \({m^2} + 1\) ta có: \({18^2} + 1 = 325\)