Câu hỏi:
2 năm trước
Giải phương trình \(\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin 2x + \sin 3x + \sin 4x + \sin 5x + \sin 6x = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\sin x + \sin 6x} \right) + \left( {\sin 2x + \sin 5x} \right) + \left( {\sin 3x + \sin 4x} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{5x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{{3x}}{2} + 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\cos \dfrac{x}{2} = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left( {\cos \dfrac{{5x}}{2} + \cos \dfrac{{3x}}{2} + \cos \dfrac{x}{2}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}\left[ {2\cos \dfrac{{3x}}{2}\cos x + \cos \dfrac{{3x}}{2}} \right] = 0\\ \Leftrightarrow 2\sin \dfrac{{7x}}{2}.\cos \dfrac{{3x}}{2}\left( {2\cos x + 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \dfrac{{7x}}{2} = 0\\\cos \dfrac{{3x}}{2}\\\cos x = - \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\dfrac{{7x}}{2} = k\pi \\\dfrac{{3x}}{2} = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\\x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\\x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)
Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \dfrac{{k2\pi }}{7}\), \(x = \dfrac{\pi }{3} + \dfrac{{k2\pi }}{3}\), \(x = \pm \dfrac{{2\pi }}{3} + k2\pi \).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\sin a + \sin b = 2\sin \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Đưa phương trình đã cho về dạng tích.
- Tiếp tục sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích: \(\cos a + \cos b = 2\cos \dfrac{{a + b}}{2}\cos \dfrac{{a - b}}{2}\).
- Giải phương trình lượng giác cơ bản: \(\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \pm \alpha + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).
