Giải phương trình $4\cos x\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = \cos 2x$.

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,4\cos x\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} + x} \right)\sin \left( {\dfrac{\pi }{6} - x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow 4\cos x.\left( { - \dfrac{1}{2}\left( {\cos \dfrac{\pi }{3} - \cos 2x} \right)} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow  - 2\cos x\left( {\dfrac{1}{2} - \cos 2x} \right) = \cos 2x\\ \Leftrightarrow  - \cos x + 2\cos x\cos 2x = \cos 2x\\ \Leftrightarrow  - \cos x + 2\cos x\left( {2{{\cos }^2}x - 1} \right) = 2{\cos ^2}x - 1\\ \Leftrightarrow  - \cos x + 4{\cos ^3}x - 2\cos x = 2{\cos ^2}x - 1\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - 2{\cos ^2}x - 3\cos x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {\cos x - 1} \right)\left( {4{{\cos }^2}x + 2\cos x - 1} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x = 1\\\cos x = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k2\pi \\x =  \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: $x = k2\pi ;\,\,x = \, \pm \arccos \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 5 }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)$.