Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{5x + 1 - \sqrt {x + 1} }}{{{x^2} - 2x}}$ có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?

Hàm số có dạng $y = \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}$ với $f\left( x \right) = 5x + 1 - \sqrt {x + 1} ;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} g\left( x \right) = {x^2} - 2x$

*) Do bậc của $f\left( x \right)$ nhỏ hơn bậc của $g\left( x \right)$ $ \Rightarrow $ TCN :$y = 0$

*) Do : $g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x = 0}\end{array}} \right.$ và $f\left( 2 \right) \ne 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {\mkern 1mu} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} = \infty  \Rightarrow $ TCĐ :$x = 2$

*) Do $f\left( 0 \right) = 0$ nên kiểm tra:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {\mkern 1mu} \dfrac{{{{\left( {5x + 1} \right)}^2} - \left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}} $ $= \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{25x + 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {5x + 1 + \sqrt {x + 1} } \right)}} =  - \dfrac{9}{4} \ne \infty $

(Lưu ý: có thể kiểm tra bằng máy tính)

Do đó đồ thị hàm số có hai đường tiệm cận là $y = 0$ và $x = 2$.