Câu hỏi:
2 năm trước
Đề thi THPT QG 2020 – mã đề 104
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh bằng \(a\) và \(O\) là tâm của đáy. Gọi \(M,N,P,Q\) lần lượt là các điểm đối xứng với \(O\) qua trọng tâm của các tam giác \(SAB,\,\,SBC,\,\,SCD,\,\,SDA\) và \(S'\) là điểm đối xứng với \(S\) qua \(O\). Thể tích khối chóp \(S'MNPQ\) bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
\(S.ABCD\) là hình chóp đều nên trọng tâm của các mặt bên tạo thành một hình vuông
=> MNPQ là hình vuông
Ta có : \(AC = a\sqrt 2 .\)
\( \Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {{a^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Gọi \(G,\,\,K\) lần lượt là trọng tâm của \(\Delta SAB\) và \(\Delta SCD\).
\( \Rightarrow GK = \dfrac{2}{3}BC = \dfrac{2}{3}a = \dfrac{{2a}}{3}.\) (tính chất trọng tâm tam giác)
\( \Rightarrow MP = 2GK = \dfrac{4}{3}a\) (tính chất đường trung bình của tam giác)
Tương tự ta được: \(NQ = \dfrac{4}{3}a\).
\( \Rightarrow {S_{MNPQ}} = \dfrac{1}{2}MP.NQ = \dfrac{1}{2}.{\left( {\dfrac{4}{3}a} \right)^2} = \dfrac{8}{9}{a^2}\) .
Ta có: \(\left( {MNPQ} \right){\rm{//}}\left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow d\left( {M,\left( {ABCD} \right)} \right) = 2d\left( {G,\left( {ABCD} \right)} \right)\)\( = \dfrac{2}{3}SO = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\).
\( \Rightarrow d\left( {\left( {MNPQ} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)
\( \Rightarrow d\left( {S',\left( {MNPQ} \right)} \right) = S'O + \dfrac{{a\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{{5a\sqrt 2 }}{6}\)
\( \Rightarrow {V_{S'MNPQ}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{5a\sqrt 2 }}{6}.\dfrac{{8{a^2}}}{9} = \dfrac{{20\sqrt 2 {a^3}}}{{81}}\).
Hướng dẫn giải:
Thể tích khối chóp có diện tích đáy \(B\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Bh.\)
Câu hỏi khác
- Bài tập thể tích khối chóp toán 12 có lời giải
- Bài tập thể tích lăng trụ, khối hộp toán 12 có lời giải
- Bài tập khối đa diện đều, phép vị tự toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện (sự bằng nhau của các khối đa diện) toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện toán 12 có lời giải
