Có bao nhiêu số nguyên $a \in \left( { - 2019;2019} \right)$ để phương trình $\dfrac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a$ có hai nghiệm phân biệt?

$\dfrac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{{3^x} - 1}} = x + a \Leftrightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{{3^x} - 1}} - x = a\,\,\left( * \right)$.

Xét hàm số $f\left( x \right) = \dfrac{1}{{\ln \left( {x + 5} \right)}} + \dfrac{1}{{{3^x} - 1}} - x$.

ĐKXĐ: $\left\{ \begin{array}{l}x + 5 > 0\\\ln \left( {x + 5} \right) \ne 0\\{3^x} - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 5\\x + 5 \ne 1\\{3^x} \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x >  - 5\\x \ne  - 4\\x \ne 0\end{array} \right.$

$\Rightarrow D = \left( { - 5; - 4} \right) \cup \left( { - 4;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)$.

Ta có:

$f'\left( x \right) = - \frac{1}{{\left( {x + 5} \right){{\ln }^2}\left( {x + 5} \right)}} - \frac{{{3^x}\ln 3}}{{{{\left( {{3^x} - 1} \right)}^2}}} - 1 < 0,\forall x \in D$

BBT:

Từ BBT suy ra phương trình (*) có 2 nghiệm $\Leftrightarrow a \ge 4$.

Kết hợp ĐK $\Rightarrow a \in \left\{ {4;...;2018} \right\}$. Vậy có 2015 giá trị của $a$ thỏa mãn.