Câu hỏi:
2 năm trước
Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số $y = {x^4} - 2m{x^2} + 2{m^2} - m$ có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân?
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có:$y' = 4{x^3} - 4mx = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.$
Để phương trình có $3$ nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow m > 0\).
$ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 2{m^2} - m \Rightarrow A\left( {0;2{m^2} - m} \right)}\\{x = \sqrt m \Rightarrow y = {m^2} - m \Rightarrow B\left( {\sqrt m ;{m^2} - m} \right)}\\{x = - \sqrt m \Rightarrow y = {m^2} - m \Rightarrow C\left( { - \sqrt m ;{m^2} - m} \right)}\end{array}} \right.$
Ta có tam giác $ABC$ luôn là tam giác cân tại $A$ nên để $ABC$ là tam giác vuông cân thì ta cần thêm điều kiện tam giác $ABC$ vuông tại $A.$
$\begin{array}{*{20}{l}}{ \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0}\\{\overrightarrow {AB} = \left( {\sqrt m ; - {m^2}} \right){\mkern 1mu} ;{\mkern 1mu} \overrightarrow {AC} = \left( { - \sqrt m ; - {m^2}} \right)}\\{ \Rightarrow - m + {m^4} = 0 \Leftrightarrow m\left( {{m^3} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {ktm} \right)}\\{m = 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {tm} \right)}\end{array}} \right.}\end{array}$
Vậy $m = 1.$
Hướng dẫn giải:
Để hàm số bậc bốn $y = {x^4} + b{x^2} + c$ có $3$ cực trị thì phương trình có 3 nghiệm phân biệt. Và khi hàm số trên có ba cực trị thì ba cực trị đó luôn tạo thành một tam giác cân.
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
