Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Xét \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\), \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Vì \(\sqrt 1 + \sqrt 2 < \sqrt 2 + \sqrt 3 < \sqrt 3 + \sqrt 4 < ... < \sqrt {80} + \sqrt {81} \)
Nên \(\dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }};...;\)
\(\dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\) từ đó suy ra \(A > B\).
Lại có: \(A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
Mặt khác ta có: \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1} + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1} - \sqrt k } \right)}} \)\(= \sqrt {k + 1} - \sqrt k \) \(\left( {k \ge 0} \right)\)
Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8.$
Do $A > B$ suy ra \(2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4\).
Hướng dẫn giải:
+ Đặt \(A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }}\) và \(B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}\)
+ So sánh A và B
+ Tính \(A + B\) bằng cách biến đổi và sử dụng \(\dfrac{1}{{\sqrt k + \sqrt {k + 1} }} = \sqrt {k + 1} - \sqrt k \)
+ Từ đó suy ra đáp án.
