Chọn câu đúng.

Xét $A = \dfrac{1}{{\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79}  + \sqrt {80} }}$, $B = \dfrac{1}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4  + \sqrt 5 }} + .. + \dfrac{1}{{\sqrt {80}  + \sqrt {81} }}$

Vì $\sqrt 1  + \sqrt 2  < \sqrt 2  + \sqrt 3  < \sqrt 3  + \sqrt 4  < ... < \sqrt {80}  + \sqrt {81}$

Nên $\dfrac{1}{{\sqrt 1  + \sqrt 2 }} > \dfrac{1}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }};...;$

$\dfrac{1}{{\sqrt {79}  + \sqrt {80} }} > \dfrac{1}{{\sqrt {80}  + \sqrt {81} }}$ từ đó suy ra  $A > B$.

Lại có: $A + B = \dfrac{1}{{\sqrt 1  + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 2  + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3  + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79}  + \sqrt {80} }} + \dfrac{1}{{\sqrt {80}  + \sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có: $\dfrac{1}{{\sqrt k  + \sqrt {k + 1} }} = \dfrac{{\left( {\sqrt {k + 1}  - \sqrt k } \right)}}{{\left( {\sqrt {k + 1}  + \sqrt k } \right)\left( {\sqrt {k + 1}  - \sqrt k } \right)}}$$= \sqrt {k + 1}  - \sqrt k$ $\left( {k \ge 0} \right)$

Suy ra: $A + B = \left( {\sqrt 2  - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3  - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81}  - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81}  - 1 = 8.$

Do $A > B$ suy ra $2A > A + B = 8 \Leftrightarrow A > 4$.