Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(x = \sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \). Chọn đáp án đúng về giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{{{x^4} - 4{x^3} + {x^2} + 6x + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \({x^2} = {\left( {\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } + \sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } } \right)^2} = 8 + 2\sqrt {4 + \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } .\sqrt {4 - \sqrt {10 + 2\sqrt 5 } } \) \( \Leftrightarrow {x^2} = 8 + 2\sqrt {6 - 2\sqrt 5 } = 8 + 2\sqrt {{{\left( {\sqrt 5 - 1} \right)}^2}} \)\(= 8 + 2\left( {\sqrt 5 - 1} \right) = 6 + 2\sqrt 5 = {\left( {\sqrt 5 + 1} \right)^2}\)\( \Rightarrow x = \sqrt 5 + 1\).
Từ đó ta suy ra \(x - 1 = \sqrt 5 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} = 5 \Leftrightarrow {x^2} - 2x = 4.\)
Ta biến đổi: \(P = \dfrac{{{{\left( {{x^2} - 2x} \right)}^2} - 3\left( {{x^2} - 2x} \right) + 12}}{{{x^2} - 2x + 12}}\)\( = \dfrac{{{4^2} - 3.4 + 12}}{{4 + 12}} = .1\)
Vậy \(P = 1 > 0\)
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \(\sqrt {{A^2}} = \left| A \right|\) để thu gọn \(x.\)
+ Từ đó biến đổi \(x\) để thu được hệ thức \({x^2} - 2x = 4\)
+ Biến đổi \(P\) để xuất hiện hạng tử \({x^2} - 2x\) từ đó tính giá trị biểu thức \(P.\)
