Cho tham số thực a. Biết phương trình ${e^x} - {e^{ - {\kern 1pt} x}} = 2\cos ax$ có 5 nghiệm thực phân biệt. Hỏi phương trình ${e^x} + {e^{ - {\kern 1pt} x}} = 2\cos ax + 4$ có bao nhiêu nghiệm thực phân biệt?

Ta có

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{e^x} + {e^{ - x}} = 2\cos ax + 4 \Leftrightarrow {{\left( {{e^{\frac{x}{2}}}} \right)}^2} + {{\left( {{e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)}^2} - 2.{e^{\frac{x}{2}}}.{e^{ - \frac{x}{2}}} = 2\cos ax + 2}\\{ \Leftrightarrow {{\left( {{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - \frac{x}{2}}}} \right)}^2} = 2\left( {\cos ax + 1} \right) = 2.2{{\cos }^2}\dfrac{{ax}}{2}}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - {\kern 1pt} \frac{x}{2}}} = 2\cos \dfrac{{ax}}{2} \left( 1 \right)}\\{{e^{\frac{x}{2}}} - {e^{ - {\kern 1pt} \frac{x}{2}}} =  - 2\cos \dfrac{{ax}}{2} \left( 2 \right)}\end{array}} \right..}\end{array}\)

Giả sử ${x_0}$ là nghiệm của phương trình ${e^x} - {e^{ - {\kern 1pt} x}} = 2\cos ax{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( * \right),$ thì ${x_0} \ne 0$ và $2{x_0}$ là nghiệm của $\left( 1 \right)$ và $ - {\mkern 1mu} 2{x_0}$ là nghiệm của $\left( 2 \right)$ hoặc ngược lại.

Phương trình $\left( * \right)$ có 5 nghiệm nên hai phương trình $\left( 1 \right),{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( 2 \right)$ có 5 nghiệm phân biệt.

Vậy phương trình ${e^x} + {e^{ - {\kern 1pt} x}} = 2\cos ax + 4$ có 10 nghiệm phân biệt.