Câu hỏi:
2 năm trước
Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M\left( {4;0;0} \right)\) và \(N\left( {0;0;3} \right)\) sao cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( {Oyz} \right)\) một góc bằng \({60^0}\). Tính khoảng cách từ điểm gốc tọa độ đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\) là 1 VTPT của \(\left( \alpha \right)\).
Ta có \(\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} = \left( {1;0;0} \right)\) nên góc giữa \(\left( \alpha \right)\) và \(\left( {Oyz} \right)\) bằng \({60^0}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \cos {60^0} = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} .\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_{\left( {Oyz} \right)}}} } \right|}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| {a.1 + b.0 + c.0} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\end{array}\)
\(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {4;0;0} \right)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\) làm VTPT nên \(\left( \alpha \right)\) có phương trình tổng quát là:
\(a\left( {x - 4} \right) + b\left( {y - 0} \right) + c\left( {z - 0} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow ax + by + cz - 4a = 0\)
Suy ra khoảng cách từ O đến \(\left( \alpha \right)\) là:
\(d\left( {O,\left( \alpha \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a.0 + b.0 + c.0 - 4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)\( = \dfrac{{\left| {4a} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{{\left| a \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 4.\dfrac{1}{2} = 2\)
Hướng dẫn giải:
Gọi \(\overrightarrow {{n_{\left( \alpha \right)}}} = \left( {a;b;c} \right)\), sử dụng các công thức:
- Tính cos góc giữa hai mặt phẳng \(\cos \alpha = \dfrac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}\)
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng \(d\left( {M,\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)
