Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông, $AB = BC = a,$ \(A'B = a\sqrt 3 \). Gọi $M$ là trung điểm của cạnh $BC.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AM$ và $B’C.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Ta có $AA' = \sqrt {A'{B^2} - A{B^2}} = a\sqrt 2 $.
Dựng $Cx||AM$ khi đó $d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {AM;\left( {B'Cx} \right)} \right)$.
$ = d\left( {M;\left( {B'Cx} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right)$
(vì \(BM \cap \left( {B'Cx} \right) = C\) và \(M\) là trung điểm của \(BC\))
Dựng $\left\{ \begin{array}{l}BE \bot Cx\\BF \bot B'E\,\,\left( 1 \right)\end{array} \right.$ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Cx \bot BE\\Cx \bot BB'\end{array} \right. \Rightarrow Cx \bot \left( {BB'E} \right) \Rightarrow Cx \bot BF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) $ \Rightarrow BF \bot \left( {B'Cx} \right) \Rightarrow d\left( {B;\left( {B'Cx} \right)} \right) = BF$
Gọi \(P = BE \cap AM\), do \(MP//CE,MB = MC\) nên \(PB = PE\)
Mà $BP = \dfrac{{AB.BM}}{{\sqrt {A{B^2} + B{M^2}} }} = \dfrac{{a.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}} }} = \dfrac{a}{{\sqrt 5 }}$
Suy ra $BE = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 5 }} \Rightarrow BF = \dfrac{{BE.BB'}}{{\sqrt {B{E^2} + BB{'^2}} }} = \dfrac{{2a}}{{\sqrt 7 }}$
Do đó $d = \dfrac{a}{{\sqrt 7 }}$.
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
