Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tâm $O.$ Cạnh bên $SA = 2a$ và vuông góc với mặt đáy $(ABCD).$ Gọi $H$ và $K$ lần lượt là trung điểm của cạnh $BC$ và $CD.$ Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $HK$ và $SD.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Gọi \(E = HK \cap AC.\) Do \(HK\parallel BD\) nên suy ra
\(d\left( {HK;SD} \right) = d\left( {HK;\left( {SBD} \right)} \right) = d\left( {E;\left( {SBD} \right)} \right) = \dfrac{1}{2}d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right)\) (vì $OE = \dfrac{1}{2}AO$)
Kẻ $AF \bot SO\,\,\left( 1 \right)$ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow BD \bot AF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AF \bot \left( {SBD} \right)\), khi đó
\(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AF = \dfrac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + A{O^2}} }} = \dfrac{{2a.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\sqrt {4{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} }} = \dfrac{{2a}}{3}.\)
Vậy khoảng cách \(d\left( {HK;SD} \right) = \dfrac{1}{2}AF = \dfrac{a}{3}.\)
Hướng dẫn giải:
Tìm mặt phẳng chứa $SD$ và song song với $HK$ rồi sử dụng phương pháp xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách từ đường thẳng này đến mặt phẳng song song đường thẳng này và chứa đường thẳng kia
