Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD $ có đáy $ABCD$ là hình vuông với \(AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\). Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy, $SB$ hợp với đáy góc \({60^0}\). Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AD$ và $SC.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \widehat {\left( {SB;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SB;AB} \right)} = \widehat {SBA} = {60^0}\)
Tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$ nên \(AB = BC = \dfrac{{AC}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{a}{2}\)
Xét tam giác vuông $SAB $ có : \(SA = AB.\tan {60^0} = \dfrac{a}{2}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Ta có \(d\left( {AD;SC} \right) = d\left( {AD;\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\)
Kẻ \(AK \bot SB\).
Do \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot AK\), mà \(AK \bot SB\) nên \(AK \bot \left( {SBC} \right)\)
Khi đó
\(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AB}}{{\sqrt {S{A^2} + A{B^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{a}{2}}}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào cách xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng còn lại, đưa về dạng toán tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
