Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là \({30^0}\). Thể tích khối chóp S.ABC là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Vì chóp S.ABC đều nên \(SG \bot \left( {ABC} \right)\)
Gọi D là trung điểm của BC ta có: \(\left. \begin{array}{l}BC \bot SG\,\,\left( {SG \bot \left( {ABC} \right)} \right)\\BC \bot AD\end{array} \right\} \Rightarrow BC \bot \left( {SAD} \right)\)
Trong \(\left( {SAD} \right)\) kẻ \(GH \bot SD\,\,\left( 1 \right)\) ta có:\(BC \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow GH \bot BC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra SH là hình chiếu vuông góc của SG trên (SBC)
\( \Rightarrow \widehat {\left( {SG;\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SG;SH} \right)} = \widehat {GSH} = {30^0}\)
Vì tam giác ABC đều nên \(AD = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AD = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
\(SG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SG \bot GD \Rightarrow \Delta SGD\) vuông tại G\( \Rightarrow SG = GD.\cot 30 = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \dfrac{a}{2}\)
\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SG.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)
Hướng dẫn giải:
- Xác định góc giữa \(SG\) và \(\left( {SBC} \right)\) (góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng)
- Tính chiều cao \(SG\) và diện tích tam giác đáy.
- Tính thể tích theo công thức \(V = \dfrac{1}{3}Sh\).
Câu hỏi khác
- Bài tập thể tích khối chóp toán 12 có lời giải
- Bài tập thể tích lăng trụ, khối hộp toán 12 có lời giải
- Bài tập khối đa diện đều, phép vị tự toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện (sự bằng nhau của các khối đa diện) toán 12 có lời giải
- Bài tập khái niệm về khối đa diện toán 12 có lời giải
