Câu hỏi:
2 năm trước

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD  cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA,BD  cắt SO,SB,AB tại N,P,Q. Tứ giác MNPQ  là hình gì?

Trả lời bởi giáo viên

Đáp án đúng: c

Tam giác SBD cân tại S  nên SB=SD .

Suy ra ΔSBC=ΔSDC(c.c.c)^SCB=^SCD.

Gọi I  là trung điểm của SC .

Xét hai tam giác IBC  và ICD  có:

IC chung

BC=DC (ABCD là hình vuông)

^ICB=^ICD(cmt)

Do đó ΔIBC=ΔIDC(c.g.c)IB=ID hay tam giác ICD  cân tại I .

Do O  là trung điểm của BD  nên IO  là đường trung tuyến trong tam giác cân IOBD.

SA//IO nên SABD.

Ta có: {M(α)(ABCD)BD(α)BD(ABCD)

Suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD)  là đường thẳng qua M  và song song với BD  cắt AB  tại Q MQBD.(1)

Ta có: {Q(α)(SAB)SA(α)SA(SAB) suy ra giao tuyến của (α)với (SAB)  là đường thẳng đi qua Q  và song song với SA  cắt SB tại P . Do đó QP//SA(2)

Ta có: {P(α)(SBD)BD(α)BD(SBD)suy ra giao tuyến của (α)với (SBD)  là đường thẳng đi qua P và song song với BD  cắt SO  tại N . Do đó PN//BD(3) .

Ta có: {(α)(SAC)=MNSA(α)SA(SAC)MNSA. (4).

Từ (1) và (3) suy ra PN//MQ//BD , từ (2) và (4) suy ra QP//MN//SA . Do đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có SABDMNMQ .

Vậy MNPQ  là hình chữ nhật.

Hướng dẫn giải:

- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α)(β) có điểm chung M  và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của (α)(β) là đường thẳng đi qua M  và song song với dd  để xác định thiết diện của hình chóp.

- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.

- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật.

Câu hỏi khác