Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O, tam giác SBD cân tại S. Gọi M là điểm tùy ý trên AO. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA,BD cắt SO,SB,AB tại N,P,Q. Tứ giác MNPQ là hình gì?
Trả lời bởi giáo viên
Tam giác SBD cân tại S nên SB=SD .
Suy ra ΔSBC=ΔSDC(c.c.c)⇒^SCB=^SCD.
Gọi I là trung điểm của SC .
Xét hai tam giác IBC và ICD có:
IC chung
BC=DC (ABCD là hình vuông)
^ICB=^ICD(cmt)
Do đó ΔIBC=ΔIDC(c.g.c)⇒IB=ID hay tam giác ICD cân tại I .
Do O là trung điểm của BD nên IO là đường trung tuyến trong tam giác cân ⇒IO⊥BD.
Mà SA//IO nên SA⊥BD.
Ta có: {M∈(α)∩(ABCD)BD∥(α)BD⊂(ABCD)
Suy ra giao tuyến của (α) với (ABCD) là đường thẳng qua M và song song với BD cắt AB tại Q ⇒MQ∥BD.(1)
Ta có: {Q∈(α)∩(SAB)SA∥(α)SA⊂(SAB) suy ra giao tuyến của (α)với (SAB) là đường thẳng đi qua Q và song song với SA cắt SB tại P . Do đó QP//SA(2)
Ta có: {P∈(α)∩(SBD)BD∥(α)BD⊂(SBD)suy ra giao tuyến của (α)với (SBD) là đường thẳng đi qua P và song song với BD cắt SO tại N . Do đó PN//BD(3) .
Ta có: {(α)∩(SAC)=MNSA∥(α)SA⊂(SAC)⇒MN∥SA. (4).
Từ (1) và (3) suy ra PN//MQ//BD , từ (2) và (4) suy ra QP//MN//SA . Do đó MNPQ là hình bình hành.
Lại có SA⊥BD⇒MN⊥MQ .
Vậy MNPQ là hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
- Dựa vào tính chất: Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) có điểm chung M và lần lượt chứa hai đường thẳng song song d và d’ thì giao tuyến của (α) và (β) là đường thẳng đi qua M và song song với d và d′ để xác định thiết diện của hình chóp.
- Sử dụng các tính chất về đường cao, đường trung tuyến trong tam giác cân.
- Vận dụng các dấu hiệu nhận biết hình bình hành và hình chữ nhật.