Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O,$ cạnh bằng $4a.$ Cạnh bên $SA = 2a.$ Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ trên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm của $H$ của đoạn thẳng $AO.$ Tính khoảng cách $d$ giữa các đường thẳng $SD$ và $AB.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Do \(AB\parallel CD\) nên \(d\left( {SD;AB} \right) = d\left( {AB;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right).\)
(Do \(AH \cap \left( {SCD} \right) = C \) \(\Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)}} = \dfrac{{AC}}{{HC}} = \dfrac{4}{3} \) \( \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{4}{3}d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right)\))
Kẻ \(HE \bot CD\), kẻ \(HL \bot SE\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SH\\CD \bot HE\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow CD \bot HL\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow HL \bot \left( {SCD} \right)\)
\(\Rightarrow d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL\)
Tính được \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = a\sqrt 2 \), \(HE = \dfrac{3}{4}AD = 3a.\)
Khi đó \(d\left( {H;\left( {SCD} \right)} \right) = HL = \dfrac{{SH.HE}}{{\sqrt {S{H^2} + H{E^2}} }} = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{{\sqrt {11} }}.\)
Vậy \(d\left( {SD;AB} \right) = \dfrac{4}{3}HL = \dfrac{{4a\sqrt {22} }}{{11}}.\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
