Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình vuông cạnh bằng \(10\). Cạnh bện $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SC = 10\sqrt 5 $. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $CD.$ Tính khoảng cách giữa BD và MN.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Gọi \(P\) là trung điểm \(BC\) và \(E = NP \cap AC\), suy ra \(PN\parallel BD\) nên \(BD\parallel \left( {MNP} \right)\).
Do đó
\(d\left( {BD;MN} \right) = d\left( {BD;\left( {MNP} \right)} \right) = d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right)\)
Ta có \(PE//BO,P\) là trung điểm của \(BC\) nên \(E\) là trung điểm của \(OC\), do đó \(OE = \dfrac{1}{3}AE\)
Mà \(AO \cap \left( {MNP} \right) = E \Rightarrow d\left( {O;\left( {MNP} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right).\)
Kẻ \(AK \bot ME\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAC} \right)\\NP//BD \Rightarrow NP \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow NP \bot AK\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {MNP} \right)\). Khi đó \(d\left( {A;\left( {MNP} \right)} \right) = AK.\)
Tính được \(SA = \sqrt {S{C^2} - A{C^2}} = 10\sqrt 3 \Rightarrow MA = 5\sqrt 3 ;\,\,AE = \dfrac{3}{4}AC = \dfrac{{15\sqrt 2 }}{2}\)
Tam giác vuông \(MAE\), có \(AK = \dfrac{{MA.AE}}{{\sqrt {M{A^2} + A{E^2}} }} = 3\sqrt 5 .\) Vậy \(d\left( {BD;MN} \right) = \dfrac{1}{3}AK = \sqrt 5 \).
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
