Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a,$ tam giác $SAD $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $SA$ và $BD.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Gọi $I$ là trung điểm của $AD$ nên suy ra $SI \bot AD \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$ và \(SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Kẻ \(Ax\parallel BD\). Do đó \(d\left( {BD;SA} \right) = d\left( {BD;\left( {SAx} \right)} \right) = d\left( {D;\left( {SAx} \right)} \right) = 2d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right)\)
(vì \(DI \cap \left( {SAx} \right) = A\) và \(IA = \dfrac{1}{2}DA\))
Kẻ \(IE \bot Ax\), kẻ \(IK \bot SE\,\,\left( 1 \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Ax \bot SI\\Ax \bot IE\end{array} \right. \Rightarrow Ax \bot \left( {SIE} \right) \Rightarrow Ax \bot IK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow IK \bot \left( {SAx} \right)\). Khi đó \(d\left( {I;\left( {SAx} \right)} \right) = IK\)
Gọi $F$ là hình chiếu của \(I\) trên \(BD\), ta dễ dàng chứng minh được \(\Delta IAE = \Delta IDF\left( {ch - gn} \right) \) \(\Rightarrow IE = IF = \dfrac{{AO}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4}\)
Tam giác vuông \(SIE\), có \(IK = \dfrac{{SI.IE}}{{\sqrt {S{I^2} + I{E^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{{14}}\)
Vậy \(d\left( {BD;SA} \right) = 2IK = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
