Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD $ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD).$ Đường thẳng $SC$ tạo với mặt phẳng đáy góc ${45^0}.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $SB$ và $AC$ là
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có $AC = a\sqrt 2 ;\widehat {SCA} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} = {45^0} \Rightarrow SA = AC = a\sqrt 2 $
Dựng $Bx||AC \Rightarrow d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;(SBx)} \right)$
Dựng $AE \bot Bx,\;AF \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)$ ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}Bx \bot AE\\Bx \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow Bx \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow Bx \bot AF\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AF \bot \left( {SBE} \right)\) \( \Rightarrow d = d\left( {AC;\left( {SBx} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBx} \right)} \right) = AF\)
Ta có $BE||AC \Rightarrow BE \bot BD$ dễ ràng suy ra $OEBO$ là hình chữ nhật suy ra $AE = OB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.$
Vậy khoảng cách
$d\left( {SB;AC} \right) = \dfrac{{AE.SA}}{{\sqrt {A{E^2} + S{A^2}} }} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}.a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{5}$.
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
