Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a.$ Cạnh bên $SA$ vuông góc với $mp\,\,\left( {ABCD} \right),\,\,SA = a\sqrt 2 .$ Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $SB.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ cắt hình chóp theo một thiết diện có diện tích $S.$ Tính $S$ theo $a.$
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Ta có AD vuông góc với SA và AB$ \Rightarrow AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right) \Rightarrow AD \bot SB.$
Vẽ đường cao AH trong tam giác SAB
Lại có AD và AH qua A và vuông góc với SB.
Vậy mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ chính là mặt phẳng (AHD)
Mặt khác AD // mp(SBC) mà $AD \subset mp\,\,\left( {AHD} \right)$
Vậy mặt phẳng (SBC) cắt mặt phẳng (AHD) theo giao tuyến HK // AD.
Do đó mặt cắt là hình thang ADKH mà $AD \bot mp\,\,\left( {SAB} \right)$$ \Rightarrow \,AD \bot AH.$
Suy ra tứ giác ADKH là hình thang vuông.
Tam giác SAB vuông $ \Rightarrow \,\,AH = \dfrac{{SA.AB}}{{SC}} = \dfrac{{a\sqrt 2 .a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.$ Và $S{A^2} = SH.HB\,\, \Rightarrow \,\,SH = \dfrac{{S{A^2}}}{{SB}} = \dfrac{{2{a^2}}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.$
Ta có $HK$//$BC$$ \Rightarrow \,\,\dfrac{{HK}}{{BC}} = \dfrac{{SH}}{{SB}}\,\, \Rightarrow \,\,HK = \dfrac{{SH.BC}}{{SB}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.a}}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{2a}}{3}.$
Do đó ${S_{ADKH}} = \dfrac{{AH}}{2}.\left( {HK + AD} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\left( {\dfrac{{2a}}{3} + a} \right) = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}.\dfrac{{5a}}{3} = \dfrac{{5{a^2}\sqrt 6 }}{{18}}.$
Hướng dẫn giải:
Sử dụng lý thuyết của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và bài toán tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đồng thời việc tính toán trong tam giác, tứ giác cụ thể là tính diện tích đa giác
