Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$ với $AB = 2a, AD = DC = a.$ Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với đáy. Góc giữa $SC$ và mặt đáy bằng ${60^0}$. Tính khoảng cách $d$ giữa hai đường thẳng $AC$ và $SB$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {SAD} \right) = SA\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left( {ABCD} \right)\)
Xác định
\({60^0} = \widehat {\left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right)} \)
\(= \widehat {\left( {SC;AC} \right)} = \widehat {SCA}\)
và \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} \) \(= \sqrt {A{D^2} + C{D^2}} .\tan 60^0 \) \(= a\sqrt 2 .\sqrt 3 = a\sqrt 6. \)
Gọi $M$ là trung điểm $AB$, suy ra $ADCM$ là hình vuông nên $CM = AD = a.$
Xét tam giác $ACB$, ta có trung tuyến \(CM = a = \dfrac{1}{2}AB\) nên tam giác $ACB$ vuông tại $C.$
Lấy điểm $E$ sao cho $ACBE$ là hình chữ nhật, suy ra \(AC\parallel BE\) và E nằm trong (ABCD).
Do đó \(d\left( {AC;SB} \right) = d\left( {AC;\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {SBE} \right)} \right)\)
Kẻ \(AK \bot SE\,\,\,\left( 1 \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BE \bot AE\\BE \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BE \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BE \bot AK\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBE} \right)\)
Khi đó \(d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }}.\)
Ta có: \(AE = BC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2 \) \(\Rightarrow AK = \dfrac{{a\sqrt 6 .a\sqrt 2 }}{{\sqrt {6{a^2} + 2{a^2}} }} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
