Câu hỏi:
2 năm trước
Cho hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - mx + 2\) với \(m\) là tham số thực. Tìm giá trị của \(m\) để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số tạo với đường thẳng \(d:x + 4y - 5 = 0\) một góc \(\alpha = {45^0}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x - m.\)
Để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị \( \Leftrightarrow \) phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow \Delta ' = 9 + 3m > 0 \Leftrightarrow m > - 3.\)
Ta có \(y = y'.\left( {\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}} \right) - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}.\)
\( \Rightarrow \) đường thẳng đi qua hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là \(\Delta :y = - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}.\)
Đường thẳng \(d:x + 4y - 5 = 0\) có một VTPT là \({\vec n_d} = \left( {1;4} \right).\)
Đường thẳng \(\Delta :y = - \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)x + 2 - \dfrac{m}{3}\) có một VTPT là \({\vec n_\Delta } = \left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2;1} \right).\)
Ycbt \( \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos {45^0} = \left| {{\rm{cos}}\left( {{{\vec n}_d},{{\vec n}_\Delta }} \right)} \right| = \dfrac{{\left| {1.\left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right) + 4.1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {4^2}} .\sqrt {{{\left( {\dfrac{{2m}}{3} + 2} \right)}^2} + {1^2}} }}\)
\( \Leftrightarrow 60{m^2} + 264m + 117 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - \dfrac{1}{2}\\m = - \dfrac{{39}}{{10}}\;\end{array} \right. \Rightarrow m = - \dfrac{1}{2}\) (do \(m > - 3\))
Hướng dẫn giải:
- Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chia \(y\) cho \(y'\) ta được:
\(y=y'.q(x)+r(x) \Leftrightarrow y-r(x)=y'.q(x)\). Khi thay tọa độ các điểm cực trị vào thì ta luôn được \(y-r(x)=0\)
Khi đó đường thẳng \(y=r(x)\) là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số.
- Sử dụng điều kiện góc giữa hai đường thẳng tìm \(m\)
Câu hỏi khác
- Bài tập sự đồng biến, nghịch biến của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số toán 12 có lời giải
- Bài tập cực trị có tham số đối với các hàm số cơ bản môn Toán lớp 12
- Bài tập đồ thị của hàm số và phép tịnh tiến hệ tọa độ toán 12 có lời giải
