Cho hàm số $y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2$. Tập hợp tất cả các giá trị của tham số $m\;$ sao cho hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị, đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn $1$ là

$y = {x^3} + \left( {1 - 2m} \right){x^2} + \left( {2 - m} \right)x + m + 2$$ \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2\left( {1 - 2m} \right)x + 2 - m$

Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì $\Delta ' > 0 \Leftrightarrow {\left( {1 - 2m} \right)^2} - 3.\left( {2 - m} \right) > 0$$ \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{5}{4}\\m <  - 1\end{array} \right.$

Giả sử ${x_1},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_2},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{x_1} < {\mkern 1mu} {x_2}} \right)$ là nghiệm của phương trình $y' = 0$. Theo Vi – ét: ${x_1} + {x_2} = \dfrac{{4m - 2}}{3},{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{3}$

Do $a = 1 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = {x_2}$

Theo đề bài, ta có: điểm cực tiểu nhỏ hơn 1$ \Rightarrow {x_1} < {x_2} < 1$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) > 0}\\{\left( {{x_1} - 1} \right) + \left( {{x_2} - 1} \right) < 0}\end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 > 0}\\{\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 < 0}\end{array}} \right.$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\dfrac{{2 - m}}{3} - \dfrac{{4m - 2}}{3} + 1 > 0}\\{\dfrac{{4m - 2}}{3} - 2 < 0}\end{array}} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 5m + 7 > 0}\\{4m - 8 < 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{7}{5}$

Vậy, để đồ thị của hàm số đã cho có $2$ điểm cực trị, đồng thời điểm cực tiểu nhỏ hơn $1$ thì $m \in \left( { - \infty ; - 1} \right) \cup \left( {\dfrac{5}{4};\dfrac{7}{5}} \right)$.