Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên tập số thực thỏa mãn \(f\left( x \right) + \left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)\)\( = 50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1\)  \(\forall x \in \mathbb{R}\). Giá trị của biểu thức \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:

Lấy tích phân từ 0 đến 1 hai vế ta được:

\(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \)

Xét tích phân \(I = \int\limits_0^1 {\left( {5x - 2} \right)f\left( {5{x^2} - 4x} \right)dx} \).

Đặt \(t = 5{x^2} - 4x\) ta có \(dt = \left( {10x - 4} \right)dx \Leftrightarrow \left( {5x - 2} \right)dx = \dfrac{1}{2}dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow I = \int\limits_0^1 {\dfrac{1}{2}f\left( t \right)dt}  = \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)

Xét tích phân \(J = \int\limits_0^1 {\left( {50{x^3} - 60{x^2} + 23x - 1} \right)dx} \) ta có: \(J = \left. {\left( {\dfrac{{50{x^4}}}{4} - \dfrac{{60{x^3}}}{3} + \dfrac{{23{x^2}}}{2} - x} \right)} \right|_0^1 = 3\)

Khi đó ta có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  + \dfrac{1}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3\) \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{2}\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 3\) \( \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  = 2\).