Cho hàm số $y = \dfrac{{1 - 3x}}{{3 - x}}$ có đồ thị $\left( C \right)$. Điểm $M$ nằm trên $\left( C \right)$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận đứng gấp hai lần khoảng cách từ $M$ đến tiệm cận ngang của $\left( C \right)$. Khoảng cách từ $M$ đến tâm đối xứng của $\left( C \right)$ bằng:

Đồ thị hàm số $\left( C \right)$ có TCĐ$x = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{d_1}} \right)$ và TCN:$y = 3{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( {{d_2}} \right)$

$ \Rightarrow $ Tâm đối xứng của đồ thị$\left( C \right)$ là:$I\left( {3;3} \right)$

Gọi$M\left( {m;\dfrac{{1 - 3m}}{{3 - m}}} \right) \in \left( C \right)$ ta có:$d\left( {M;{d_1}} \right) = \left| {m - 3} \right|;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) = \left| {\dfrac{{1 - 3m}}{{3 - m}} - 3} \right| = \dfrac{8}{{\left| {3 - m} \right|}}$

Vì$d\left( {M;\left( {{d_1}} \right)} \right) = 2d\left( {M;\left( {{d_2}} \right)} \right) \Rightarrow \left| {m - 3} \right| = \dfrac{{16}}{{\left| {3 - m} \right|}} \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 7}\\{m =  - 1}\end{array}} \right.$

Khi$m = 7 \Rightarrow M\left( {7;5} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( {7 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 $

Khi$m =  - 1 \Rightarrow M\left( { - 1;1} \right) \Rightarrow IM = \sqrt {{{\left( { - 1 - 3} \right)}^2} + {{\left( {1 - 3} \right)}^2}}  = 2\sqrt 5 $