Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính \(AB = 4\sqrt 2 \;cm\). Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\).  Tính diện tích hai hình viên phân giới hạn bởi nửa đường tròn $\left( O \right)$ và dây $AC,BC$ .

Diện tích hình tròn $\left( O \right)$ là: \({S_{(O)}} = \pi {R^2}\)

Ta có góc \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {90^0}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0} - \widehat {CBA} = {90^0} - {30^0} = {60^0}.\)

Tam giác $AOC$ có   \(\widehat {CAO} = {60^\circ }\)  và  $\;OA = OC = R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .

Giả sử $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$ , ta có:

\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \)\(\Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}CH.AB \)\(= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R.2R = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2}.\)

Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ là:

$\dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\pi {R^2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2} $$= \dfrac{1}{2}\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right){R^2} $$= \dfrac{1}{2}\left( {\pi  - \sqrt 3 } \right){\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} = 2\pi  - 2\sqrt 3 .$