Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) thỏa mãn \(\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + 10} = \sqrt {2{u_1} + 6{u_2}} \) và \({u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1\) với mọi \(n \ge 1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(n\) để \({u_n} > 5050\) bằng.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có: \(\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + 10} = \sqrt {2{u_1} + 6{u_2}} \)\( \Leftrightarrow u_1^2 + u_2^2 + 10 = 2{u_1} + 6{u_2}\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{u_1} - 1} \right)^2} + {\left( {{u_2} - 3} \right)^2} = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 1\\{u_2} = 3\end{array} \right.\).
Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) với \(n \ge 1\)\( \Rightarrow {v_1} = {u_2} - {u_1} = 2\).
Theo giả thiết: \({u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1\)\( \Leftrightarrow {u_{n + 2}} - {u_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {u_n} + 1 \Leftrightarrow {v_{n + 1}} = {v_n} + 1\), \(\forall n \ge 1\).
Suy ra \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số cộng có công sai \(d = 1\)\( \Rightarrow {v_n} = {v_1} + \left( {n - 1} \right)d = 2+n-1=n+1\).
Ta có: \({u_{n + 1}} = \underbrace {{u_{n + 1}} - {u_n}}_{{v_n}} + \underbrace {{u_n} - {u_{n - 1}}}_{{v_{n - 1}}} + ... + \underbrace {{u_3} - {u_2}}_{{v_2}} + \underbrace {{u_2} - {u_1}}_{{v_1}} + {u_1} \) \(= {S_n} + {u_1}\).
Với \({S_n} = {v_1} + {v_2} + ... + {v_n} = \dfrac{n}{2}\left( {{v_1} + {v_n}} \right) = \dfrac{{n\left( {n +3} \right)}}{2}\).
Suy ra: \({u_{n + 1}} = \dfrac{{n\left( {n +3 } \right)}}{2} + 1 \) \(\Rightarrow {u_n} = \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + 1\).
Ta có: ${u_n} > 5050 \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {n - 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2} + 1 > 5050 $ $\Leftrightarrow {n^2} +n - 10100 > 0 \Leftrightarrow n > 100$.
Vậy số \(n\) nhỏ nhất thỏa yêu cầu là \(101\).
Hướng dẫn giải:
- Tìm \({u_1},{u_2}\) từ điều kiện bài cho.
- Đặt \({v_n} = {u_{n + 1}} - {u_n}\) tìm tính chất dãy \(\left( {{v_n}} \right)\)
- Tìm công thức tính số hạng tổng quát \({u_n}\), thay vào điều kiện \({u_n} > 5050\) tìm \(n\)
