Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$.

Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng $3$ và với mỗi số nguyên dương $n \ge 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$?

Tam giác $ABC$ cạnh $a$ thì có bán kính đường tròn ngoại tiếp là $\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

Với $n = 1$ thì tam giác đều ${A_1}{B_1}{C_1}$ có cạnh bằng $3$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A_1}{B_1}{C_1}$có bán kính ${R_1} = 3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$\Rightarrow {S_1} = \pi {\left( {3.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}$ .

Với $n = 2$ thì tam giác đều ${A_2}{B_2}{C_2}$ có cạnh bằng $\dfrac{3}{2}$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$ có bán kính ${R_2} = 3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$\Rightarrow {S_2} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}$ .

Với $n = 3$ thì tam giác đều ${A_3}{B_3}{C_3}$ có cạnh bằng $\dfrac{3}{4}$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A_2}{B_2}{C_2}$ có bán kính ${R_3} = 3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$\Rightarrow {S_3} = \pi {\left( {3.\dfrac{1}{4}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}$ .

...................

Như vậy tam giác đều ${A_n}{B_n}{C_n}$ có cạnh bằng $3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}$ nên đường tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ có bán kính ${R_n} = 3.{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}$$\Rightarrow {S_n} = \pi {\left( {3.{{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^{n - 1}}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}} \right)^2}$ .

Khi đó ta được dãy ${S_1}$, ${S_2}$, $...{S_n}...$ là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu ${u_1} = {S_1} = 3\pi$ và công bội $q = \dfrac{1}{4}$.

Do đó tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$$= \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 4\pi$ .