Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được xác định bởi \({u_1} = 2\); \({u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3n - 1\). Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng \(a{.2^n} + bn + c\), với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên, \(n \ge 2\); \(n \in \mathbb{N}\). Khi đó tổng \(a + b + c\) có giá trị bằng
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Ta có \({u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3n - 1\)\( \Leftrightarrow {u_n} + 3n + 5 = 2\left[ {{u_{n - 1}} + 3\left( {n - 1} \right) + 5} \right]\), với \(n \ge 2\); \(n \in \mathbb{N}\).
Đặt \({v_n} = {u_n} + 3n + 5\), ta có \({v_n} = 2{v_{n - 1}}\) với \(n \ge 2\); \(n \in \mathbb{N}\).
Như vậy, \(\left( {{v_n}} \right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 2\) và \({v_1} = 10\), do đó \({v_n} = {10.2^{n - 1}} = {5.2^n}\).
Do đó \({u_n} + 3n + 5 = {5.2^n}\), hay \({u_n} = {5.2^n} - 3n - 5\) với \(n \ge 2\); \(n \in \mathbb{N}\).
Suy ra \(a = 5\), \(b = - 3\), \(c = - 5\). Nên \(a + b + c = 5 + \left( { - 3} \right) + \left( { - 5} \right) = - 3\).
Hướng dẫn giải:
- Đặt \({v_n} = {u_n} + 3n + 5\) tìm tính chất của \({v_n}\) suy ra số hạng tổng quát của nó.
- Tìm công thức số hạng tổng quát của \({u_n}\) suy ra \(a,b,c\) và kết luận.
