Bạn An chơi trò chơi xếp các que diêm thành tháp theo qui tắc thể hiện như hình vẽ. Để xếp được tháp có $10$ tầng thì bạn An cần đúng bao nhiêu que diêm?

Tam giác mà ba đỉnh của nó là ba trung điểm ba cạnh của tam giác $ABC$ được gọi là tam giác trung bình của tam giác $ABC$.

Ta xây dựng dãy các tam giác ${A_1}{B_1}{C_1},{\rm{ }}{A_2}{B_2}{C_2},{\rm{ }}{A_3}{B_3}{C_3},...$ sao cho ${A_1}{B_1}{C_1}$ là một tam giác đều cạnh bằng $3$ và với mỗi số nguyên dương $n \ge 2$, tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$ là tam giác trung bình của tam giác ${A_{n - 1}}{B_{n - 1}}{C_{n - 1}}$. Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu ${S_n}$ tương ứng là diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ${A_n}{B_n}{C_n}$. Tính tổng $S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...$?

Cho dãy số xác định bởi ${u_1} = 1$, ${u_{n + 1}} = \dfrac{1}{3}\left( {2{u_n} + \dfrac{{n - 1}}{{{n^2} + 3n + 2}}} \right);{\rm{ }}n \in {\mathbb{N}^*}$. Khi đó ${u_{2018}}$ bằng

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được xác định bởi ${u_1} = 2$; ${u_n} = 2{u_{n - 1}} + 3n - 1$. Công thức số hạng tổng quát của dãy số đã cho là biểu thức có dạng $a{.2^n} + bn + c$, với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên, $n \ge 2$; $n \in \mathbb{N}$. Khi đó tổng $a + b + c$ có giá trị bằng

Trong năm đầu tiên đi làm, anh A được nhận lương là 10 triệu đồng mỗi tháng. Cứ hết một năm, anh A lại được tăng lương, mỗi tháng năm sau tăng 12% so với mỗi tháng năm trước. Mỗi khi lĩnh lương anh A đều cất đi phần lương tăng so với năm ngay trước để tiết kiệm mua ô tô. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm thì anh A mua được ô tô giá 500 triệu biết rằng anh A được gia đình hỗ trợ 32% giá trị chiếc xe?

Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\sqrt {u_1^2 + u_2^2 + 10}  = \sqrt {2{u_1} + 6{u_2}}$ và ${u_{n + 2}} + {u_n} = 2{u_{n + 1}} + 1$ với mọi $n \ge 1.$ Giá trị nhỏ nhất của $n$ để ${u_n} > 5050$ bằng.

Cho $a < b < c$ là ba số nguyên. Biết $a$, $b$, $c$ theo thứ tự tạo thành một cấp số cộng và $a$, $c$, $b$ theo thứ tự tạo thành một cấp số nhân. Tìm giá trị nhỏ nhất của $c$.