Câu hỏi:
2 năm trước
Cho dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2\\{u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + \sqrt 2 - 1}}{{1 - \left( {\sqrt 2 - 1} \right){u_n}}}\end{array} \right.$, $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$. Tính ${u_{2018}}$.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Đặt ${u_1} = \tan \alpha = 2$. Ta có $\tan \dfrac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1$. Suy ra ${u_{n + 1}} = \dfrac{{{u_n} + \tan \dfrac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{8}.{u_n}}}$
Có ${u_2}$$ = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \dfrac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \dfrac{\pi }{8}.\tan {u_n}}} = \tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{8}} \right)$.
Bằng quy nạp, ta chứng minh được ${u_n} = \tan \left[ {\alpha + \left( {n - 1} \right)\dfrac{\pi }{8}} \right]$.
Vậy ${u_{2018}} = \tan \left( {\alpha + \dfrac{{2017\pi }}{8}} \right) = \tan \left( {\alpha + \dfrac{\pi }{8}} \right) = \dfrac{{\tan \alpha + \tan \dfrac{\pi }{8}}}{{1 - \tan \alpha .\tan \dfrac{\pi }{8}}} = 7 + 5\sqrt 2 $.
Hướng dẫn giải:
Đặt ${u_1} = \tan \alpha = 2$, tìm số hạng tổng quát của dãy \(\left( {{u_n}} \right)\) với chú ý \(\tan \dfrac{\pi }{8} = \sqrt 2 - 1\)
