Cho các số thực không âm x,y,z thỏa mãn \({5^x} + {25^y} + {125^z} = 2020\). Giá trị nhỏ nhất của biếu thức \(T = \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2}\) là

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = {5^x}\\b = {5^{2y}}\\c = {5^{3z}}\end{array} \right.\), với \(x,\,\,y,\,\,z \ge 0\) thì \(a,\,\,b,\,\,c \ge 1\).

Theo bài ra ta có \(a + b + c = 2020\) \( \Rightarrow 1 \le a,b,c \le 2018\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left( {a - 1} \right)\left( {b - 1} \right)\left( {c - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow \left( {ab - a - b + 1} \right)\left( {c - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow abc + \left( {a + b + c} \right) - \left( {ab + bc + ca} \right) - 1 \ge 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\,\,\,\,\,\,\left( {a - 2018} \right)\left( {b - 2018} \right)\left( {c - 2018} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {ab - 2018\left( {a + b} \right) + {{2018}^2}} \right)\left( {c - 2018} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow abc + {2018^2}\left( {a + b + c} \right) - 2018\left( {ab + bc + ca} \right) - {2018^3} \le 0\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Lấy (1) nhân với 2018 rồi trừ đi (2) ta được:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2017abc + \left( {2018 - {{2018}^2}} \right)\left( {a + b + c} \right) - 2018 + {2018^3} \ge 0\\ \Leftrightarrow 2017abc + 2018\left( {1 - 2018} \right)\left( {a + b + c} \right) + {2018^3} - 2018 \ge 0\\ \Leftrightarrow 2017abc - 2017.2018.\left( {a + b + c} \right) + {2018^3} - 2018 \ge 0\\ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018.2020 + {2018^3} - 2018 \ge 0\\ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} + 2018\left( {{{2018}^2} - 2017.2020 - 1} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow {2017.5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2017.2018 \ge 0\\ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} - 2018 \ge 0\\ \Leftrightarrow {5^x}{.5^{2y}}{.5^{3z}} \ge 2018\\ \Leftrightarrow {5^{x + 2y + 3z}} \ge 2018\\ \Leftrightarrow x + 2y + 3z \ge {\log _5}2018\\ \Leftrightarrow \dfrac{{x + 2y + 3z}}{6} \ge \dfrac{1}{6}{\log _5}2018\\ \Leftrightarrow \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2} \ge \dfrac{1}{6}{\log _5}2018\end{array}\)  

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu tức \(T = \dfrac{x}{6} + \dfrac{y}{3} + \dfrac{z}{2}\) là \(\dfrac{1}{6}{\log _5}2018\).