Cho các số dương \(x,\,\,y\) thỏa mãn \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7}\) có dạng $\dfrac{a}{b}$. Tính $a-b$.

Đáp án:

Bước 1: Sử dụng hàm đặc trưng, tìm biểu diễn \({x^3}\) theo \(y\).

Ta có \({2^{{x^3} - y + 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2 - 2x - y - 1}} = \dfrac{{2x + y}}{{2{x^3} + 4x + 4}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{2^{{x^3} + 2x + 2}}}}{{{2^{2x + y}}.2}} = \dfrac{{2x + y}}{{2\left( {{x^3} + 2x + 2} \right)}}\\ \Leftrightarrow {2^{{x^3} + 2x + 2}}\left( {{x^3} + 2x + 2} \right) = {2^{2x + y}}.\left( {2x + y} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(f\left( t \right) = {2^t}.t,\,\,t > 0\) ta có \(f'\left( t \right) = {2^t} + t{.2^t}.\ln 2 > 0;\,\,\forall t > 0\). Do đó hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(\left( * \right) \Leftrightarrow {x^3} + 2x + 2 = 2x + y \Rightarrow {x^3} = y - 2\)

Bước 2: Thế vào biểu thức \(P\), sử dụng BĐT Cô-si tìm GTNN của biểu thức \(P\).

Khi đó \(P = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{{x^3}}}{7} = \dfrac{7}{y} + \dfrac{{y - 2}}{7} = \dfrac{7}{y} + \dfrac{y}{7} - \dfrac{2}{7} \ge 2\sqrt {\dfrac{7}{y}.\dfrac{y}{7}}  - \dfrac{2}{7} = \dfrac{{12}}{7}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{7}{y} = \dfrac{y}{7} \Leftrightarrow y = 7\,\,\left( {do\,\,y > 0} \right)\).

\({P_{\min }} = \dfrac{{12}}{7} \Leftrightarrow x = \sqrt[3]{5},\,\,y = 7\).

Vậy $a=12,b=7=>a-b=5$