Câu hỏi:
2 năm trước
Cho ba số thực dương: \(a,b,c \le 1\) thỏa mãn: \(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} = \dfrac{3}{2}\). Chọn câu đúng.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Vì \(0 < a,b,c \le 1\) thì \(1 - {a^2} \ge 0;\,1 - {b^2} \ge 0;\,1 - {c^2} \ge 0.\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm ta có:
\(a\sqrt {1 - {b^2}} + b\sqrt {1 - {c^2}} + c\sqrt {1 - {a^2}} \le \dfrac{{{a^2} + 1 - {b^2}}}{2} + \dfrac{{{b^2} + 1 - {c^2}}}{2} + \dfrac{{{c^2} + 1 - {a^2}}}{2} = \dfrac{3}{2}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: \(\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt {1 - {b^2}} \\b = \sqrt {1 - {c^2}} \\c = \sqrt {1 - {a^2}} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 1 - {b^2}\\{b^2} = 1 - {c^2}\\{c^2} = 1 - {a^2}\end{array} \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} = \dfrac{3}{2}\)
Hướng dẫn giải:
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \) .
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
