Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
+ Điều kiện để biểu thức \(A\) xác định là \(x > 4\).
+ Nhận thấy:
\(\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) + 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} + 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| = \sqrt {x - 4} + 2.\)
\(\sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } = \sqrt {\left( {x - 4} \right) - 2.2\sqrt {x - 4} + 4} = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 4} - 2} \right)}^2}} \)\( = \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|\)
\(\sqrt {{x^2} - 8x + 16} = \sqrt {{{\left( {x - 4} \right)}^2}} = \left| {x - 4} \right|\)
Từ đó:
\(A = \dfrac{{x\left( {\left| {\sqrt {x - 4} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{\left| {x - 4} \right|}} = \)\(\dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \left| {\sqrt {x - 4} - 2} \right|} \right)}}{{x - 4}}\)
+ Nếu \(4 < x < 8\) thì \(\sqrt {x - 4} - 2 < 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + 2 - \sqrt {x - 4} } \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{4x}}{{x - 4}} = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$
Do \(4 < x < 8\) nên \(0 < x - 4 < 4 \Rightarrow A > 8\).
+ Nếu $x \ge 8$ thì \(\sqrt {x - 4} - 2 \ge 0\) nên $A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x - 4} + 2 + \sqrt {x - 4} - 2} \right)}}{{x - 4}} = \dfrac{{2x\sqrt {x - 4} }}{{x - 4}} = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }} = 2\sqrt {x - 4} + \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \ge 2\sqrt {16} = 8$ (Theo bất đẳng thức Cô si). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2\sqrt {x - 4} = \dfrac{8}{{\sqrt {x - 4} }} \Leftrightarrow x - 4 = 4 \Leftrightarrow x = 8$.
Vậy GTNN của $A$ bằng \(8\) khi \(x = 8\).
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng hằng đẳng thức \(\sqrt {{X^2}} = \left| X \right|\) để rút gọn \(A.\)
+ Sử dụng bất đẳng thức Cô-si để tìm giá trị nhỏ nhất của \(A.\)
Cho \(a,b \ge 0\) ta có \(a + b \ge 2\sqrt {ab} \)
Dấu “=” xảy ra khi \(a = b.\)
