Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(A = \dfrac{{x\left( {\sqrt {x + 4\sqrt {x - 4} } + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 4} } } \right)}}{{\sqrt {{x^2} - 8x + 16} }}\) với \(x > 4\)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(x\) để \(A\) có giá trị nguyên.
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Theo câu trước ta có: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Xét \(4 < x < 8\) thì $A = 4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}$, ta thấy \(A \in Z\) khi và chỉ khi $\dfrac{{16}}{{x - 4}} \in Z \Leftrightarrow x - 4$ là ước số nguyên dương của \(16\). Hay $x - 4 \in \left\{ {1;2;4;8;16} \right\} \Leftrightarrow x = \left\{ {5;6;8;12;20} \right\}$ đối chiếu điều kiện suy ra: ${\rm{x}} = 5$ hoặc \(x = 6\).
+ Xét $x \ge 8$ ta có: $A = \dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}$, đặt \(\sqrt {x - 4} = m \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = {m^2} + 4\\m \ge 2\end{array} \right.\) (ở đây $ m\in Z$ vì $x$ nguyên và $A$ nguyên), khi đó ta có: \(A = \dfrac{{2\left( {{m^2} + 4} \right)}}{m} = 2m + \dfrac{8}{m}\) suy ra: \(m \in \left\{ {2;4;8} \right\} \Leftrightarrow x \in \left\{ {8;20;68} \right\}\).
Tóm lại: Để $A$ nhận giá trị nguyên thì \(x \in \left\{ {5;6;8;20;68} \right\}\).
Vậy có \(5\) giá trị của \(x\) thỏa mãn điều kiện đề bài.
Hướng dẫn giải:
+ Sử dụng kết quả rút gọn của câu trước: \(A = \left\{ \begin{array}{l}4 + \dfrac{{16}}{{x - 4}}\,\,\,khi\,\,\,4 < x < 8\\\dfrac{{2x}}{{\sqrt {x - 4} }}\,\,\,\,khi\,\,x \ge 8\end{array} \right.\,\,\)
+ Lập luận để \(\dfrac{n}{B} \in Z\) thì \(B \in U\left( n \right)\).
