Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx} = a\ln \dfrac{4}{b}\). Giá trị của \(a + b\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\), khi đó
\(\begin{array}{l}\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\dfrac{{\cos x}}{{{{\sin }^2}x - 5\sin x + 6}}dx} = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{{t^2} - 5t + 6}}} \\ = \int\limits_0^1 {\dfrac{{dt}}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}}} = \int\limits_0^1 {\left( {\dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{{t - 2}}} \right)dt} \\ = \left. {\left( {\ln \left| {t - 3} \right| - \ln \left| {t - 2} \right|} \right)} \right|_0^1 = \left. {\ln \left| {\dfrac{{t - 3}}{{t - 2}}} \right|} \right|_0^1\\ = \ln 2 - \ln \dfrac{3}{2} = \ln \dfrac{4}{3}\end{array}\)
\( \Rightarrow a = 1,\,\,b = 3\).
Vậy \(a + b = 1 + 3 = 4\).
Hướng dẫn giải:
- Sử dụng phương pháp đổi biến số, đặt \(t = \sin x\).
- Phân tích \(\dfrac{1}{{\left( {t - 2} \right)\left( {t - 3} \right)}} = \dfrac{1}{{t - 3}} - \dfrac{1}{{t - 2}}\).
- Sử dụng công thức tính nguyên hàm \(\int {\dfrac{{dx}}{{ax + b}}} = \dfrac{1}{a}\ln \left| {ax + b} \right| + C\).
- Đồng nhất hệ số tìm \(a,\,\,b\).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
