Câu hỏi:
2 năm trước
Cho \(0 < \alpha < 1\). Tìm tập hợp \(X\) các giá trị của \(x\) thỏa mãn \({x^{{{\log }_\alpha }\left( {\alpha x} \right)}} \ge {(\alpha x)^4}\).
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: c
ĐK: \(0 < x \ne 1\).
Ta có \({x^{{{\log }_\alpha }\left( {\alpha x} \right)}} \ge {(\alpha x)^4} \Leftrightarrow {x^{{{\log }_\alpha }x + 1}} \ge {\left( {\alpha x} \right)^4}\).
Đặt \(t = {\log _\alpha }x \Rightarrow x = {\alpha ^t}\). Khi đó bất phương trình trở thành: ${\left( {{\alpha ^t}} \right)^{t + 1}} \ge {\left( {\alpha .{\alpha ^t}} \right)^4}$.
\( \Leftrightarrow {\alpha ^{{t^2} + t}} \ge {\alpha ^{4t + 4}} \Leftrightarrow {t^2} + t \le 4t + 4 \Leftrightarrow {t^2} - 3t - 4 \le 0\).
\( \Leftrightarrow - 1 \le t \le 4\).
\( \Rightarrow - 1 \le {\log _\alpha }x \le 4 \Leftrightarrow {\alpha ^4} \le x \le \dfrac{1}{\alpha }\) (thoả mãn điều kiện).
Hướng dẫn giải:
- Đặt \(t = {\log _\alpha }\left( {\alpha x} \right)\) biến đổi về bất phương trình ẩn \(t\).
- Giải bất phương trình tìm nghiệm và kết luận.
