Câu hỏi:
2 năm trước
Biết rằng phương trình \({\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x + {\log _{\frac{1}{3}}}2\) có hai nghiệm \({x_1}\) và \({x_2}.\) Hãy tính tổng \(S = {27^{{x_1}}} + {27^{{x_2}}}.\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Điều kiện: \({3^{x + 1}} - 1 > 0 \Leftrightarrow x > - 1.\)
Phương trình \( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) = 2x - {\log _3}2 \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right) + {\log _3}2 = 2x\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left[ {\left( {{3^{x + 1}} - 1} \right).2} \right] = 2x\)\( \Leftrightarrow \left( {{3^{x + 1}} - 1} \right).2 = {3^{2x}} \Leftrightarrow {6.3^x} - 2 = {3^{2x}}\)
\( \Leftrightarrow {3^{2x}} - {6.3^x} + 2 = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}} = 6\\{3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}} = 2\end{array} \right..\)
Ta có \(S = {27^{{x_1}}} + {27^{{x_2}}}\) \( = {\left( {{3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}}} \right)^3} - {3.3^{{x_1}}}{.3^{{x_2}}}\left( {{3^{{x_1}}} + {3^{{x_2}}}} \right)\) \( = {6^3} - 3.2.6 = 180\)
Hướng dẫn giải:
- Biến đổi phương trình về phương trình bậc hai với ẩn là \({3^x}\).
- Sử dụng định lý Vi-et tính tổng \(S\).
