Biết \(I = \int\limits_{\ln 3}^{\ln 8} {\dfrac{{{e^x} - 1}}{{\sqrt {{e^x} + 1} }}dx}  = a - \ln \dfrac{b}{2}\) với $a, b$ là các số nguyên dương. Tính giá trị của $a + b$.

Đặt \(t = \sqrt {{e^x} + 1}  \Leftrightarrow {t^2} = {e^x} + 1 \Leftrightarrow 2tdt = {e^x}dx = \left( {{t^2} - 1} \right)dx \Leftrightarrow dx = \dfrac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = \ln 3 \Leftrightarrow t = 2\\x = \ln 8 \Leftrightarrow t = 3\end{array} \right.\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{{t^2} - 1 - 1}}{t}\dfrac{{2t}}{{{t^2} - 1}}dt}  = 2\int\limits_2^3 {\dfrac{{{t^2} - 2}}{{{t^2} - 1}}dt}  = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 - \dfrac{1}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt} \\ = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{2}\dfrac{{t - 1 - \left( {t + 1} \right)}}{{\left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}} \right)dt}  = 2\int\limits_2^3 {\left( {1 + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{t + 1}} - \dfrac{1}{{t - 1}}} \right)} \right)dt} \\ = \left. {\left( {2x + \ln \left( {t + 1} \right) - \ln \left( {t - 1} \right)} \right)} \right|_2^3\\ = 6 + \ln 4 - \ln 2 - 4 - \ln 3 = 2 - \ln \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow a + b = 5\end{array}\)