I. Hỗn số
Cho $a$ và $b$ là hai số nguyên dương, $a > b$, $a$ không chia hết cho $b$. Nếu $a$ chia cho $b$ được thương là $q$ và số dư là $r$, thì ta viết $\dfrac{a}{b} = q\dfrac{r}{b}$ và gọi $q\dfrac{r}{b}$ là hỗn số.
Đọc là “$q,\,\,r$ phần $b$”.
Ví dụ:
Phép chia $23:4$ có thương là $5$ và số dư là $3$ nên ta có: $\dfrac{{23}}{4} = 5\dfrac{3}{4}$.
Đọc là: “ năm, ba phần tư”.
Chú ý:
Với hỗn số $q\dfrac{r}{b}$ người ta gọi $q$ là phần số nguyên và $\dfrac{r}{b}$ là phần phân số của hỗn số.
Ví dụ:
Hỗn số $5\dfrac{3}{4}$ có phần nguyên là $5$ và phần phân số là $\dfrac{3}{4}$.
II. Đổi hỗn số ra phân số
Ta đổi hỗn số $q\dfrac{r}{b}$ thành phân số, theo quy tắc sau:
$q\dfrac{r}{b} = \dfrac{{q.b + r}}{b}$
Ví dụ:
$1\dfrac{3}{4} = \dfrac{{1.4 + 3}}{4} = \dfrac{7}{4}$
III. Viết phân số dưới dạng hỗn số
Viết phân số đã cho dưới dạng $\dfrac{{q.b + r}}{b}, (r<b)$ và thu gọn được:
$\dfrac{{q.b + r}}{b}=\dfrac {q.b}{b}+\dfrac{r}{b}=q+\dfrac{r}{b}=q\dfrac{r}{b} $
IV. Cộng, trừ hỗn số
1) Khi cộng hai hỗn số ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng phân số. Ta cũng có thể cộng phần nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau khi hai hỗn số đều dương.
Ví dụ 1:
$2\dfrac{1}{2} + 3\dfrac{1}{4}$$ = \left( {2 + 3} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4}} \right)$$ = 5 + \dfrac{3}{4} = 5\dfrac{3}{4}$
2) Khi trừ hai hỗn số, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép trừ phân số. Ta cũng có thể lấy phần nguyên của số bị trừ trừ phần nguyên của số trừ, phần phân số của số bị trừ trừ phân phân số của số trừ, rồi cộng kết quả với nhau (khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ).
Ví dụ 2:
$3\dfrac{1}{2}\; - 2\dfrac{1}{4}$$ = \left( {3 - 2} \right) + \left( {\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4}} \right)$$ = 1 + \dfrac{1}{4}$$ = 1\dfrac{1}{4}$
3) Khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ nhưng phân phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số của số trừ, ta phải rút một đơn vị ở phần nguyên của số bị trừ để thêm vào phần phân số, sau đó tiếp tục trừ như trên.
Ví dụ 3:
$8\dfrac{1}{5} - 3\dfrac{1}{2} = 8\dfrac{2}{{10}} - 3\dfrac{5}{{10}}$$ = 7\dfrac{{12}}{{10}} - 3\dfrac{5}{{10}}$$ = 4\dfrac{7}{{10}}.$
Chú ý: Ta có thể đổi hỗn số ra phân số rồi thực hiện phép cộng trừ phân số.
V. Nhân, chia hỗn số
-Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ hỗn số bằng cách viết hỗn số dưới dạng phân số rồi làm phép cộng hoặc phép chia phân số.
- Khi nhân hoặc chia một hỗn số với một số nguyên, ta có thể viết hỗn số dưới dạng một tổng của một số nguyên và một phân số.
Ví dụ:
$2\dfrac{1}{3}.2 = \left( {2 + \dfrac{1}{3}} \right).2 = 2.2 + \dfrac{1}{3}.2 = 4 + \dfrac{2}{3} = 4\dfrac{2}{3}$
$6\dfrac{2}{5}:2 = \left( {6 + \dfrac{2}{5}} \right):2 = 6:2 + \dfrac{2}{5}:2 = 3 + \dfrac{1}{5} = 3\dfrac{1}{5}.$
VI. So sánh, sắp xếp các hỗn số
+ Hỗn số nào có phần nguyên lớn hơn thì hỗn số đó lớn hơn.
+ Nếu hai phần nguyên bằng nhau thì hỗn số nào có phần phân số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn.
