Xét các số thực \(x,y\) thỏa mãn \({2^{{x^2} + {y^2} + 1}} \le \left( {{x^2} + {y^2} - 2x + 2} \right){4^x}\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\) là $a+\sqrt{a}$

Tìm $a$

Đáp án:

Bước 1: Chia cả 2 vế của bất phương trình cho $4^x$ và đặt \(t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\)

Nhận xét: \({x^2} + {y^2} - 2x + 2 = {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + 1 > 0\,\,\,\forall x,y\).

Bpt \( \Leftrightarrow {2^{{x^2} + {y^2} - 2x + 1}} \le {x^2} + {y^2} - 2x + 2\).

Đặt \(t = {x^2} + {y^2} - 2x + 1\), bất phương trình trở thành \({2^t} \le t + 1 \Leftrightarrow {2^t} - t - 1 \le 0\).

Bước 2: Xét hàm đặc trưng \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\) và đánh giá $t$ từ đó đánh giá ${\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2}$

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow t = {\log _2}\left( {{{\log }_2}e} \right).\)

BBT:

Suy ra ta có \(0 \le t \le 1 \Rightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} \le 1\).

Bước 3: Biến đổi P và tìm min, max

Ta có:

\(P = \dfrac{{8x + 4}}{{2x - y + 1}}\)\( \Leftrightarrow 2Px - Py + P = 8x + 4\)

\( \Leftrightarrow P - 4 = \left( {8 - 2P} \right)x + Py\)\( \Leftrightarrow 3P - 12 = \left( {8 - 2P} \right)\left( {x - 1} \right) + Py\)

\( \Leftrightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le \left[ {{{\left( {8 - 2P} \right)}^2} + {P^2}} \right]\left[ {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2}} \right]\)

\( \Rightarrow {\left( {3P - 12} \right)^2} \le {\left( {8 - 2P} \right)^2} + {P^2}\)\( \Leftrightarrow 4{P^2} - 40P + 80 \le 0\)

\( \Leftrightarrow 5 - \sqrt 5  \le P \le 5 + \sqrt 5\)

Bước 4: Xét dấu “=” xảy ra

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{8 - 2P}}{P} = \dfrac{{x - 1}}{y} =  - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}}\\{{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {y^2} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - 1 =  - \dfrac{2}{{\sqrt 5 }}y}\\{\dfrac{9}{5}{y^2} = 1}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 \mp \dfrac{2}{3}}\\{y =  \pm \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow \max P = 5 + \sqrt 5 \) đạt được khi \(x = \dfrac{1}{3};y = \dfrac{{\sqrt 5 }}{3}\).

Vậy $a=5$