Câu hỏi:
2 năm trước
Cho $m = {\log _a}\sqrt {ab} $ với $a,b > 1$ và $P = \log _a^2b + 54{\log _b}a$. Khi đó giá trị của $m$ để $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: a
Ta có $P = \log _a^2b + 54{\log _b}a = \log _a^2b + \dfrac{{54}}{{{{\log }_a}b}}$
Đặt $t = {\log _a}b$ thì $P = {t^2} + \dfrac{{54}}{t}$
Vì \(a,\,\,b > 1\) nên $t = {\log _a}b > 0$.
Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có
$P = {t^2} + \dfrac{{54}}{t} = {t^2} + \dfrac{{27}}{t} + \dfrac{{27}}{t} \ge 3\sqrt[3]{{{{27}^2}}} = 27.$
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ${t^2} = \dfrac{{27}}{t} \Leftrightarrow t = 3.$
Ta có $m = {\log _a}\sqrt {ab} = \dfrac{1}{2}{\log _a}\left( {ab} \right)$$ = \dfrac{1}{2}\left( {1 + {{\log }_a}b} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 + t} \right) = \dfrac{1}{2}\left( {1 + 3} \right) = 2$
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(t = {\log _a}b\) và tìm giá trị nhỏ nhất của \(P\) theo \(t\) và tìm \(t\) tương ứng suy ra mối liên hệ của \(a,b\)
- Tính \(m\) theo điều kiện trên và kết luận.
