Xét bất phương trình \(\log _2^22x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng \(\left( {\sqrt {2;}  + \infty } \right)\).

Điều kiện: \(x > 0\)

\(\log _2^2 2x - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( {1 + {{\log }_2}x} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right){\log _2}x - 2 < 0{\rm{   }}\left( 1 \right)\).

Đặt \(t = {\log _2}x\). Vì $x > \sqrt 2 $ nên ${\log _2}x > {\log _2}\sqrt 2  = \dfrac{1}{2}$.

Do đó $t \in \left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)$

\(\left( 1 \right)\) thành \({\left( {1 + t} \right)^2} - 2\left( {m + 1} \right)t - 2 < 0\)\( \Leftrightarrow {t^2} - 2mt - 1 < 0\) \(\left( 2 \right)\)

Yêu cầu bài toán tương đương tìm \(m\) để bpt $(2)$ có nghiệm thuộc \(\left( {\dfrac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Xét bất phương trình $(2)$ có: $\Delta ' = {m^2} + 1 > 0,{\rm{ }}\forall m \in \mathbb{R}$.

\(f\left( t \right) = {t^2} - 2mt - 1 = 0\) có \(ac < 0\) nên $f(t)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt \({t_1} < 0 < {t_2}\) nên tập nghiệm của $(2)$ là $(t_1;t_2)$

Khi đó cần \(\dfrac{1}{2} < {t_2} \Leftrightarrow m + \sqrt {{m^2} + 1}  > \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow m >  - \dfrac{3}{4}\)