Câu hỏi:
2 năm trước
Với mỗi số \(k\), đặt \({I_k} = \int\limits_{ - \sqrt k }^{\sqrt k } {\sqrt {k - {x^2}} dx} \). Khi đó \({I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\) bằng:
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: d
Đặt \(x = \sqrt k \sin t\) \( \Rightarrow dx = \sqrt k \cos tdt\).
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \sqrt k \Leftrightarrow \sin t = - 1 \Leftrightarrow t = - \dfrac{\pi }{2}\\x = \sqrt k \Leftrightarrow \sin t = 1 \Leftrightarrow t = \dfrac{\pi }{2}\end{array} \right.\).
Khi đó ta có
\(\begin{array}{l}{I_k} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\sqrt {k - k{{\sin }^2}t} .\sqrt k \cos tdt} \\{I_k} = \int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {k{{\cos }^2}tdt} \\{I_k} = k\int\limits_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}dt} \\{I_k} = \dfrac{k}{2}\left. {\left( {t + \dfrac{1}{2}\sin 2t} \right)} \right|_{ - \dfrac{\pi }{2}}^{\dfrac{\pi }{2}}\\{I_k} = \dfrac{k}{2}\left( {\dfrac{\pi }{2} + \dfrac{1}{2}\sin \pi + \dfrac{\pi }{2} - \dfrac{1}{2}\sin \left( { - \pi } \right)} \right)\\{I_k} = \dfrac{k}{2}.\pi = \dfrac{{k\pi }}{2}\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {I_1} + {I_2} + {I_3} + ... + {I_{12}}\\ = \dfrac{\pi }{2}\left( {1 + 2 + 3 + ... + 12} \right)\\ = \dfrac{\pi }{2}.\dfrac{{12.13}}{2} = 39\pi \end{array}\)
Hướng dẫn giải:
- Đặt ẩn phụ \(x = \sqrt k \sin t\).
- Sử dụng công thức hạ bậc \({\cos ^2}t = \dfrac{{1 + \cos 2t}}{2}\).
- Tính tích phân.
- Sử dụng công thức tính tổng \(1 + 2 + 3 + ... + n = \dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\).
Câu hỏi khác
- Bài tập nguyên hàm toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân các hàm số cơ bản toán 12 có lời giải
- Bài tập tích phân có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp từng phần để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
- Bài tập sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nguyên hàm có lời giải MÔN TOÁN Lớp 12
