Trong mặt phẳng với hệ toạ độ $Oxy,$  cho $4$ điểm $A\left( {1;0} \right),B\left( {-2;4} \right),C\left( {-1;4} \right),D\left( {3;5} \right).$ Tìm toạ độ điểm $M$  thuộc đường thẳng $(\Delta ):3x - y - 5 = 0$ sao cho hai tam giác $MAB,MCD$  có diện tích bằng nhau.

Phương trình tham số của $\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 3t - 5\end{array} \right.$

Điểm  $M \in \Delta  \Rightarrow M\left( {t;3t-5} \right)$

$\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right);\overrightarrow {CD} \left( {4;1} \right)$

Phương trình đường thẳng $AB:4x + 3y - 4 = 0$

Phương trình đường thẳng $CD:x - 4y + 17 = 0$

 ${S_{MAB}} = {S_{MCD}} \Leftrightarrow d(M,AB).AB = d(M,CD).CD$

$\dfrac{{\left| {4t + 3(3t - 5) - 4} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {3^2}} }}.AB = \dfrac{{\left| {t - 4(3t - 5) + 17} \right|}}{{\sqrt {1 + {4^2}} }}.CD$$\Rightarrow \dfrac{{\left| {13t - 19} \right|}}{5}.\sqrt {{4^2} + {3^2}}  = \dfrac{{\left| { - 11t + 37} \right|}}{{\sqrt {17} }}.\sqrt {1 + {4^2}}$

 $\Leftrightarrow t =  - 9 \vee t = \dfrac{7}{3}$  $\Rightarrow M( - 9; - 32),M\left( {\dfrac{7}{3};2} \right)$