Câu hỏi:
2 năm trước
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:x + y - 2 = 0.\) Tìm phương trình đường thẳng \(d'\) là ảnh của \(d\) qua phép đối xứng tâm \(I\left( {1;2} \right).\)
Trả lời bởi giáo viên
Đáp án đúng: b
Qua phép đối xứng tâm đường thẳng biến thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó nên suy ra \(d':x + y + c = 0.\)
Chọn \(A\left( {1;1} \right)\) thuộc \(d\). Ta có \({N _I}\left( A \right) = A'\left( {x;y} \right) \Leftrightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {IA'} = - \overrightarrow {IA} \\A' \in d'\end{array} \right..\)
Từ \(\overrightarrow {IA'} = - \overrightarrow {IA} \Rightarrow A'\left( {1;3} \right)\) thay vào \(d'\) ta được \(1 + 3 + c = 0 \Leftrightarrow c = - 4\)
\( \Rightarrow d':x + y - 4 = 0\).
Hướng dẫn giải:
- Viết dạng phương trình đường thẳng \(d'\) song song với \(d\).
- Lấy một điểm \(A\) thuộc \(d\) và tìm ảnh \(A'\) của nó qua phép đối xứng tâm.
- Cho \(A' \in d'\) suy ra phương trình \(d'\) cần tìm.
Giải thích thêm:
Cách 2. Biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm \(I\left( {a;b} \right)\) là $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x' = 2a - x}\\{y' = 2b - y}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 - x'}\\{y = 4 - y'}\end{array}} \right..$
Thay vào phương trình đường thẳng \(d\) ta được \(\left( {2 - x'} \right) + \left( {4 - y'} \right) - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow x' + y' - 4 = 0.\)
