Trong không gian \(Oxyz,\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t\\y = 1 + 4t\\z = 1\end{array} \right..\) Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A\left( {1;\;1;\;1} \right)\) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( { - 2;\;1;\;2} \right).\) Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) có phương trình là:

Ta có: \(\overrightarrow {{u_d}}  = \left( {3;\;4;\;0} \right)\) và \(d\) đi qua \(A\left( {1;\;1;\;1} \right).\)

\( \Rightarrow d \cap \Delta  = A\left( {1;\;1;\;1} \right).\)

Phương trình đường thẳng \(\Delta :\;\;\left\{ \begin{array}{l}x = 1 - 2t\\y = 1 + t\\z = 1 + 2t\end{array} \right..\)

Chọn \(B\left( {4;\;5;\;1} \right)\) là một điểm thuộc đường thẳng \(d.\)

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;\;4;\;0} \right) \Rightarrow AB = 5.\)

Lấy điểm \(C\left( {1 - 2t;\;1 + t;\;1 + 2t} \right) \in \Delta \) sao cho \(AB = AC.\)

\( \Rightarrow {\left( { - 2t} \right)^2} + {t^2} + {\left( {2t} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{{25}}{9} \Leftrightarrow t =  \pm \dfrac{5}{3}.\)

+) Với \(t = \dfrac{5}{3} \Rightarrow C\left( { - \dfrac{7}{3};\;\dfrac{8}{3};\;\dfrac{{13}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \left( { - \dfrac{{10}}{3};\;\dfrac{5}{3};\;\dfrac{{10}}{3}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( {d,\;\Delta } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{ - \dfrac{{10}}{3}}}{{5.5}} =  - \dfrac{2}{{15}} < 0 \Rightarrow \angle \left( {d;\;\Delta } \right)\) là góc tù.

+) Với \(t =  - \dfrac{5}{3} \Rightarrow C\left( {\dfrac{{13}}{3}; - \dfrac{2}{3}; - \dfrac{7}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC}  = \left( {\dfrac{{10}}{3}; - \dfrac{5}{3}; - \dfrac{{10}}{3}} \right).\)

Khi đó ta có: \(\cos \left( {d,\;\Delta } \right) = \dfrac{{\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \dfrac{{\dfrac{{10}}{3}}}{{5.5}} = \dfrac{2}{{15}} > 0 \Rightarrow \angle \left( {d;\;\Delta } \right)\) là góc nhọn nên ta cần lập phương trình đường phân giác trong TH này.

Ta có VTCP của đường phân giác của góc tạo bởi \(d\) và \(\Delta \) là: \(\overrightarrow u  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC}  = \left( {\dfrac{{19}}{3};\;\dfrac{7}{3};\; - \dfrac{{10}}{3}} \right) = \dfrac{1}{3}\left( {19;\;7;\; - 10} \right).\)

Khi đó phương trình đường phân giác \(d'\)  đi qua \(A\left( {1;\;1;\;1} \right)\) và có VTCP \(\overrightarrow u  = \left( {19;\;7; - 10} \right)\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 19t\\y = 1 + 7t\\z = 1 - 10t\end{array} \right..\)

Với \(t =  - 1\) ta có: \(I\left( { - 18; - 6;\;11} \right) \in d'.\)

Vậy đường thẳng \(d':\;\left\{ \begin{array}{l}x =  - 18 + 19t\\y =  - 6 + 7t\\z = 11 - 10t\end{array} \right..\)